Immaginate uno splendido hotel incastonato nelle montagne svizzere. Si tratta di un complesso prestigioso, dotato di tutti i confort e con un grande cuoco stellato alla direzione delle cucine. Questo albergo ha una caratteristica particolare, che lo rende unico nel suo genere, ha un numero di stanze infinito, tutte occupate.
Probabilmente lo avete già capito, ci troviamo di fronte al cosiddetto “paradosso dell’albergo di Hilbert“. David Hilbert (1862 – 1943) è stato uno dei matematici più geniali e influenti a cavallo tra il XIX e XX secolo, iniziatore fra l’altro del concetto di metateoria in campo matematico. Hilbert era un personaggio anticonformista e irriverente: donnaiolo impenitente, insofferente al conservatorismo della vita universitaria, alle regole e ai divieti sociali. Si racconta che, durante gli anni Venti, mentre mangiava al ristorante, chiedesse alle signore più eleganti di prestargli il loro boa piumato per ripararsi dagli spifferi.
Gli aneddoti su di lui si sprecano. Uno dei più curiosi ed esemplificativi della sua personalità si riferisce al fatto che, in un periodo della sua vita, quando era già un affermato matematico, andò in giro per diversi giorni con i pantaloni stracciati. L’imbarazzo in facoltà era palpabile ma nessuno osava far notare a Hilbert il poco consono abbigliamento.
Alla fine toccò al suo assistente Richard Courant l’ingrato compito di farglielo notare e, per farlo nel modo più delicato possibile, durante una passeggiata lo condusse attraverso dei cespugli spinosi, salvo fargli notare poco dopo che si era strappato i pantaloni. L’inaspettata risposta di Hilbert fu: “Oh no, sono così da settimane, ma nessuno se ne è accorto!“.
Ma torniamo al suo paradosso. L’idea di utilizzare un hotel dalle stanze infinite tutte occupate venne ad Hilbert durante alcune conferenze divulgative nelle quali doveva spiegare la teoria della cardinalità postulata da Cantor che generalizza il concetto intuitivo di “numero di elementi di un insieme” astraendo dalla natura e dall’ordine degli elementi stessi. La nozione, valida anche per insiemi infiniti, fornisce una definizione astratta e una generalizzazione del concetto di numero naturale. Attraverso la nozione di cardinalità è possibile svincolare il concetto intuitivo di «grandezza» di un insieme da ogni riferimento aritmetico ed estenderlo all’infinito su basi puramente insiemistiche.
Per spiegare questo concetto Hilbert affermava che il Grand Hotel dalle stanze infinite tutte occupate era in grado di accettare qualsiasi altro ospite sopraggiungesse, anche se il loro numero risultasse infinito, purché numerabile. Nel caso semplice, arriva un singolo nuovo ospite. Il direttore del Grand Hotel sposterà tutti i clienti nella camera successiva (l’ospite della 1 alla 2, quello della 2 alla 3, etc.); in questo modo, benché l’albergo fosse pieno è comunque, essendo infinito, possibile sistemare il nuovo ospite.
Ma cosa succede se arrivano infiniti ospiti? Si potrebbe procedere come nel caso precedente ma in questo modo si farebbe infuriare gli ospiti costretti a cedere una camera dopo l’altra infinite volte e le disdette pioverebbero infinite!
La soluzione dell’astuto direttore è quella di spostare ogni ospite nella stanza con numero doppio rispetto a quello attuale (dalla 1 alla 2, dalla 2 alla 4,etc.), lasciando ai nuovi ospiti tutte le camere con i numeri dispari, che sono essi stessi infiniti, risolvendo dunque il problema. Gli ospiti sono tutti dunque sistemati, benché l’albergo fosse pieno.
Il paradosso di Hilbert riscosse un notevole successo anche in campo letterario, tanto da essere rappresentato in varie opere, tra cui “L’hotel straordinario“, del matematico russo Naum Yakovlevich Vilenkin o nel libro “L’infinito” di John David Barrow al capitolo III intitolato “Benvenuti all’Albergo Infinito“, ed è stato ripreso nello spettacolo Infinities di Barrow e Luca Ronconi.
Dimenticavamo di dirvi che l’ostacolo maggiore nel GRAN HOTE INFINITO non è rappresentato dalla disponibilità delle camere, come ci insegna Hilbert, ma dai prezzi davvero proibitivi!
