Quante persone ci devono essere in una stanza perché la probabilità che due di loro festeggino il compleanno lo stesso giorno sia maggiore del 50%, ovvero sia più probabile che due di loro condividano lo stesso compleanno piuttosto che tutti siano nati in un giorno diverso dell’anno?
Questa è la formulazione corretta del quesito che va sotto il titolo un po’ forzato di “paradosso dei compleanni“. Di getto viene da pensare che essendoci in una anno 365 giorni (lasciamo da parte per comodità quelli bisestili) quella stanza dovrebbe essere piuttosto affollata affinché si superi la percentuale di probabilità richiesta. Ma è davvero così?
È ovvio che se stipassimo in questo stanzone 366 persone, gioco forza almeno due sarebbero nate nello stesso giorno, ma cosa succede quando questo numero è decisamente inferiore? In realtà, per quanto sembri incredibile, con sole 57 persone la probabilità che due siano nate lo stesso giorno arriva quasi al 99%. Attenzione però la domanda insita nell’indovinello è di natura diversa, ci si chiede “Quante persone ci devono essere in una stanza perché la probabilità che due di loro festeggino il compleanno lo stesso giorno sia maggiore del 50%“.
Ebbene la risposta può sembrare sconcertante, è sufficiente la presenza di ventitré persone! L’errore più comune che si compie è quello di ritenere di dover confrontare due numeri, il numero delle persone presenti nella stanza e il numero dei giorni dell’anno. Per capire se due persone hanno lo stesso compleanno, dobbiamo considerare le persone a coppie, non una alla volta, e dobbiamo considerare il numero di possibili coppie presenti.
Prendiamo in esame il caso più semplice, nella stanza ci sono solo tre persone. Le coppie sono quindi AB AC e BC. Con quattro persone abbiamo sei coppie: AB, AC, AD, BC, BD e CD. Con 23 persone risultano esserci 253 diverse coppie. 253 coppie su 365 giorni dell’anno aumentano considerevolmente le probabilità che due persone siano nate nello stesso giorno. Per il calcolo delle probabilità con ventitré persone presenti nella stanza, la possibilità che due siano nate nello stesso giorno dell’anno è pari al 50,73%. Con 57 persone si toccherebbe la soglia quasi la soglie del 99% di probabilità di due persone nate nello stesso giorno, anche se per avere la certezza assoluta, le persone presenti contemporaneamente in questa benedetta stanza dovrebbero essere 366.
Questo paradosso che attiene alla teoria della probabilità venne definito nel 1939 da Richard von Mises, matematico austriaco naturalizzato statunitense morto nel 1953.
Fonti:
La fisica del diavolo di Al-Khalili, Jim
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